A háromoldalú gúla

 

Ha a feladat nem mond mást, akkor a háromszög alapú gúla testmagasságának a talppontja az alap súlypontjába esik.

 

 

a : alapél

 

b : oldalél

 

mo: oldalmagasság

 

M : testmagasság

 

a : az oldallap és az alaplap hajlásszöge

 

g : az oldalél és az alaplap hajlásszöge

 

 

 

 

 

1. Egy szabályos háromszög alapú gúla alapéle 10 cm, a magassága 15 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata?

 

a = 10 cm          M = 15 cm

 

Az alaplap egy szabályos háromszög, aminek a területét a legkönnyebben a szinuszos területképlettel kaphatjuk meg.

 

               

Már számolhatjuk is a térfogatot:

 

               

 

A felszínhez kell az oldallapok területe, ahhoz meg az oldalmagasság. Az oldalmagasságot a TFD∆-ből számolhatjuk ki, ha kiszámoltuk az alaplap súlyvonalát!

 

A Pitagorasz-tétellel is számolhatsz, de szögfüggvénnyel gyorsabb.

 

 

 

 

 

                                       

    

 

    

 

 

 

 

2. Egy szabályos háromszög alapú gúla alapéle 10 cm, az oldaléle 20 cm. Mekkora a felszíne és a térfogata?

 

     a = 10 cm      b = 20 cm

 

Ismerjük az oldalháromszögek és az alapháromszög oldalait is, ezért a háromszögek területét a Héron-képlettel azonnal számolhatjuk.  A felszínt így gyorsan el lehet intézni.

 

Ha nem szereted a Héron-képletet, akkor akár Pitagorasz-tételezhetsz is.

Az ABC ∆-ből mindenképpen kell az s, mert a testmagasságot az s nélkül nem tudjuk kiszámítani.

 

 

 

 

 

 

 

A Pitagorasz-tétellel is számolhatsz, de szögfüggvénnyel gyorsabb.

 

 

    

Az ATD derékszögű háromszögben a Pitagorasz-tétellel kiszámolhatjuk a testmagasságot.

                                                              

 

 

 

               

 

 

     Az oldalmagasságot az FBD háromszögből is számolhatjuk:

 

                           

 

 

                           

 

 

 

3. Egy szabályos háromszög alapú gúla alapéle 10 cm, az alaplapja 40 fokos szöget zár be az oldallappal. Mekkora a felszíne és a térfogata?

 

Ki tudjuk számolni az alaplap súlyvonalát:

 

               

 

A TFD derékszögű háromszögből ki tudjuk számolni a testmagasságot és az oldalmagasságot:

 

                           

A térfogathoz még kell az alapterület:                                  

                                                              

 

 

               

 

 

 

 

4. Egy szabályos tetraéder (minden éle ugyanakkora) élei 15 cm-ek. Mekkora a felszíne és térfogata?

 

Ha nem akarsz spéci képleteket levezetni, erre a speciális esetre, akkor ugyanúgy számolhatsz, mint a második feladatban.

 

5. Egy szabályos tetraéder (minden éle ugyanakkora) élei 15 cm-ek. Mekkora szöget zár be az oldalél az alaplappal? Mekkora szöget zár be az oldallap az alaplappal?

 

a = b = 15 cm

 

 

 

 

 

Az oldalél és az alaplap szögéhez kell az s. Az oldallap és az alaplap szögéhez kell még a testmagasság is (vagy az oldalmagasság).

 

 

 

 

A Pitagorasz-tétellel is számolhatsz, de szögfüggvénnyel gyorsabb.

 

 

 

    

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Mekkora szöget zár be a szabályos tetraéder két lapja?

               

 

 

 

 

 

 

 

Ugye hogy szögfüggvényekkel gyorsabb volt?

 

               

    

 

 

 

 

 

7.  Egy szabályos háromoldalú gúla alapéle 12 cm, magassága 16 cm. Mekkora az alaplap egy csúcsának távolsága a szemközti oldallaptól?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       

 

                  

           

                 

 

 

 

Persze ha a hasonló háromszögek nem mennek, akkor szögfüggvényezhetsz is:

 

    

 

 

 

 

 

 

8. Egy tetraéder egyik csúcsába befutó élek páronként merőlegesek egymásra, hosszuk 12 cm, 18 cm és 32 cm. Számítsa ki a tetraéder felszínét és térfogatát!

 

 

 

 

Ha Bandzsa Halamandzsa a nagy indiai fakír nem volt az ősök között, akkor igen gyorsan fordítsuk egy másik oldalára a gúlát! Ettől a térfogata és a felszíne nem változik meg, viszont nem kell testmagasságot számolni.

 

 

 

Így már könnyű kiszámolni a térfogatot:

 

 

 

 

 

A derékszögű oldalháromszögek területét könnyű kiszámolni:

    

 

 

A nem derékszögű oldalháromszögnek Pitagorasz-tételekkel kiszámolhatjuk az oldalait, aztán a Héron‑képlettel a területét:

 

 

 

 

 

 

Nekem most nincs kedvem befejezni a számolást, de te ettől nyugodtan befejezheted.

 

 

 

 

 

 

9. Válaszd ki a négyzet egyik csúcsát! Kösd össze a csúcsba befutó élek felezőpontjait! Mekkora a kapott gúla felszíne és térfogata?

     a) A négyzet oldala 2 dm.

     b) A négyzet oldala „a”.

 

Ajánlom figyelmedbe a 8. feladatot.

 

10. Egy kocka élei 12 cm-ek. Az egyes csúcsoktól kiinduló éleken a csúcstól 3 centire levő pontokat összekötjük egymással. Mekkora a csonkolt kocka felszíne és térfogata?

 

Még mindig figyelmedbe ajánlom a 8. feladatot.